|
| |
| Nastepny dokument: | Wstęp do topologii |
| Nadrzędny dokument: | PRZEDMIOTY PODSTAWOWE I PRZEDMIOTY KIERUNKOWE Z MATEMATYKI |
| Poprzedni dokument: | Geometria elementarna |
| CELE NAUCZANIA |
Celem nauczania jest zaznajomienie studenta z podstawami algebry i algebry liniowej i nauczenie go korzystania z nich oraz z algebraizacją geometrii euklidesowej i metodami analitycznymi w rozwiązywaniu problemów geometrycznych.
| SEMESTR 1 | TREŚCI NAUCZANIA |
Grupa, podgrupa, podgrupa generowana. Grupy cykliczne, abelowe.
Grupy przekształceń, w szczególności grupy przekształceń
płaszczyzny (np. izometrii i podobieństw). Grupy permutacji.
Homomorfizmy, izomorfizmy struktur
jednodziałaniowych, ich niezmienniki.
Pierścień, ciało, podpierścień, podciało, podpierścień generowany,
podciało generowane. Ciało liczb zespolonych i jego podciała.
Przykłady ciał skończonych. Charakterystyka ciała.
Homomorfizmy struktur dwudziałaniowych.
Przestrzenie liniowe, podprzestrzenie, podprzestrzenie generowane.
Przestrzeń ilorazowa. Liniowa niezależność układu wektorów, baza
przestrzeni (podprzestrzeni), wymiar
przestrzeni (podprzestrzeni), współrzędne wektora. Suma prosta.
Przekształcenia liniowe, jądro i obraz przekształcenia liniowego.
Macierze, macierz przekształcenia liniowego. Algebra liniowa, w
szczególności algebra macierzy, algebra endomorfizmów przestrzeni
liniowej.
| SEMESTR 2 | TREŚCI NAUCZANIA |
Wyznaczniki. Rząd macierzy, macierz odwrotna do macierzy
nieosobliwej.
Układy równań liniowych.
Macierz przejścia od bazy do bazy, związki miedzy współrzędnymi
wektora w różnych bazach, związki miedzy macierzami
przekształcenia liniowego w
różnych bazach.
Wartości i wektory własne endomorfizmu przestrzeni liniowej,
diagonalizacja macierzy.
Przekształcenia dwuliniowe symetryczne i ich reprezentacja macierzowa.
Formy kwadratowe i ich macierze, postać kanoniczna, formy
określone
dodatnio i ujemnie.
Przestrzeń liniowa euklidesowa, baza ortonormalna, ortogonalizacja
Schmidta, postać iloczynu skalarnego w bazie ortonormalnej.
Przekształcenia ortogonalne, macierzowe reprezentacje
przekształceń ortogonalnych. Orientacja przestrzeni. Iloczyn
wektorowy w przestrzeni trójwymiarowej.
| SEMESTR 3 | TREŚCI NAUCZANIA |
Przestrzenie afiniczne, ich podstawowe własności, podprzestrzenie. Układy bazowe przestrzeni afinicznej, współrzędne punktów, kombinacja barycentryczna punktów, zbiory wypukłe, sympleksy, równoległościany. Objętości sympleksów i równoległościanów. Przekształcenia afiniczne.
Przestrzeń afiniczna euklidesowa, podstawowe pojęcia geometrii
euklidesowej. Podprzestrzenie, bazy prostopadłe, prostokątne
układy współrzędnych w
.
Równania płaszczyzny: wektorowe, parametryczne, zwyczajne.
Wzajemne
położenie płaszczyzn. Kąt miedzy płaszczyznami, pęk płaszczyzn.
Równania prostej: wektorowe, parametryczne, krawędziowe.
Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn, kąt między prostymi, kąt
między prostą i płaszczyzną, odległość prostych skośnych.
Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego.
Elipsa, hiperbola, parabola - podstawowe własności afiniczne i
metryczne krzywych stożkowych; środek, średnice, bieguny i
biegunowe,
asymptoty, ogniska i kierownice. Czwórka harmoniczna punktów.
Stożki, walce, hiperboloidy, paraboloidy, elipsoidy; podstawowe
własności afiniczne i metryczne tych powierzchni. Płaskie
przekroje powierzchni stożkowych. Powierzchnie prostokreślne,
powierzchnie
obrotowe i powierzchnie powstałe przez przesuwanie krzywej po krzywej.
Klasyfikacja afiniczna i metryczna krzywych i powierzchni stopnia
drugiego.
Grupa izometrii, grupa podobieństw, reprezentacje analityczne
izometrii i podobieństw.
| SEMESTR 4 | TREŚCI NAUCZANIA |
Twierdzenie Lagrange'a i twierdzenie
Cayley'a. Dzielniki normalne, kongruencje, grupy ilorazowe.
Ideały, kongruencje, ideały pierwsze i maksymalne w pierścieniu.
Pierścienie ilorazowe. Podstawowe twierdzenie o homomorfizmie
pierścieni. Pierścienie wielomianów. Pierścień
całkowity, ciało ułamków pierścienia całkowitego.
Elementy teorii liczb (małe twierdzenie Fermata) - przykłady
zastosowań.
| LITERATURA |
|
| |
| Nastepny dokument: | Wstęp do topologii |
| Nadrzędny dokument: | PRZEDMIOTY PODSTAWOWE I PRZEDMIOTY KIERUNKOWE Z MATEMATYKI |
| Poprzedni dokument: | Geometria elementarna |