Nastepny dokument:	Analiza matematyczna
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY PODSTAWOWE
Poprzedni dokument:	PRZEDMIOTY PODSTAWOWE

Geometria

TREŚCI NAUCZANIA

1. Figury elementarne (płaskie i przestrzenne) i ich podstawowe własności.

Wzajemne położenie dwu prostych na płaszczyźnie i w przestrzeni, prostej i płaszczyzny, dwu płaszczyzn. Relacja równoległości dwu prostych, prostej i płaszczyzny, dwu płaszczyzn. Naturalne uporządkowanie punktów prostej; odcinek, półprosta, płaszczyzna, półprzestrzeń. Figury wypukłe. Pojęcie kąta płaskiego, kąta dwuściennego, kąta liniowego kąta dwuściennego, kąta $n$-ściennego $(n\geq 3).$ Kąty przyległe, kąty wierzchołkowe. Kąt między prostymi, prostą a płaszczyzną. Kąty proste i ich własności. Nierówności odcinków i kątów, dodawanie odcinków i kątów. Odcinki swobodne i kąty swobodne. Proste prostopadłe, prosta prostopadła do płaszczyzny, płaszczyzny prostopadłe, twierdzenia dotyczące prostopadłości, konstrukcje związane z prostopadłością. Odległość geometryczna punktów, punktu od figury, prostych równoległych, płaszczyzn równoległych, prostych skośnych, symetralna odcinka i dwusieczna kąta. Kula, sfera (koło, okrąg). Figury ograniczone, nieograniczone, otwarte, domknięte, wnętrze, zewnętrze, brzeg figury. Wzajemne położenie prostej i sfery (okręgu), płaszczyzny i sfery, dwóch sfer (okręgów tej samej płaszczyzny). Prosta styczna i płaszczyzna styczna do sfery. Kąty środkowe i wpisane w okrąg. Potęga punktu względem okręgu, prosta potęgowa dwóch okręgów. Łamana, łamana zwyczajna, wielokąty. Kąty wewnętrzne i zewnętrzne wielokąta, przekątne wielokąta, wielokąty wypukłe. Trójkąt; związki między bokami i kątami, symetralne boków trójkąta, środkowe, dwusieczna kątów wewnętrznych, wysokości trójkąta i twierdzenia z nimi związane - różne sposoby ich dowodzenia. Twierdzenie Menelausa i twierdzenie Cevy i wnioski z tych twierdzeń. Czworokąty płaskie. Czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu. Twierdzenie Ptolemeusza. Wielokąty foremne. Wielościany; graniastosłupy i ostrosłupy. Twierdzenie Eulera dla wielościanów wypukłych, diagramy Schlegela wielościanów wypukłych, wielościany foremne, siatki wielościanów.

2. Przekształcenia geometryczne.

--

Izometrie na płaszczyźnie i w przestrzeni; podstawowe własności i niezmienniki izometrii, symetrie: osiowa, środkowa, płaszczyznowa - ich równoważne definicje i niezmienniki tych izometrii. Generowanie dowolnej izometrii symetriami. Przystawanie figur; cechy przystawania figur (w szczególności cechy przystawania trójkątów). Środek symetrii, oś symetrii, płaszczyzna symetrii figury. Wektory zaczepione i swobodne; równość wektorów, działania na wektorach. Translacje i ich związek z symetriami, własności translacji. Kąt skierowany, równość kątów skierowanych, działania na kątach skierowanych, orientacja płaszczyzny. Obrót wokół punktu na płaszczyźnie i wokół prostej w przestrzeni o dany kąt skierowany, składanie obrotów. Izometrie parzyste i nieparzyste. Klasyfikacja izometrii płaszczyzny i izometrii przestrzeni - ze względu na liczbę złożeń symetrii i zbiory punktów stałych. Izometrie własne figur (m.in. prostej, okręgu, trójkąta równobocznego, kwadratu, czworościanu foremnego). Grupy obrotów własnych figur ograniczonych.

--

Jednokładność; podstawowe własności, niezmienniki, jednokładności o tym samym środku i różnych środkach, przykłady figur jednokładnych.

--

Podobieństwa; własności podobieństw, niezmienniki, rozkład podobieństwa na jednokładność i izometrię, figury podobne; przykłady figur podobnych, cechy podobieństwa figur (w tym również trójkątów). Związki miarowe w trójkącie prostokątnym, twierdzenie Pitagorasa.

--

Rzut równoległy płaszczyzny na prostą tej płaszczyzny i na płaszczyznę w przestrzeni. Własności niezmiennicze figur w rzucie równoległym, twierdzenie Talesa, twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego i zewnętrznego w trójkącie, podział wewnętrzny i zewnętrzny odcinka, ,,złoty" podział odcinka.

3. Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie.

Zadanie konstrukcyjne i jego rozwiązanie (analiza, opis konstrukcji, dowód poprawności, dyskusja istnienia i ilości rozwiązań). Konstrukcje elementarne i podstawowe środkami klasycznymi. Metody rozwiązywania zadań konstrukcyjnych; w szczególności wykorzystanie przekształceń geometrycznych do rozwiązywania zadań konstrukcyjnych. Konstrukcje wielokątów foremnych; twierdzenie Gaussa. Konstrukcje odcinkowe.

LITERATURA

1. M. Bryński, M. Włodarski, Konstrukcje geometryczne, WSiP, Warszawa 1979.
2. H. S. M. Coxeter, Wstęp do geometrii dawnej i nowej, PWN, Warszawa 1967.
3. M. Kordos, L. Szczerba, Geometria dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1976.
4. Z. Krygowska, Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie, PWN, Warszawa 1958.
5. Z. Krygowska, Geometria. Podstawowe własności płaszczyzny cz. I, II, PZWS, Warszawa 1965.
6. Z. Krygowska, G. Treliński, Geometria dla klasy IV Liceum Ogólnokształcącego i Technikum, WSiP, Warszawa 1971.
7. M. Małek, Matematyka w szkole średniej. Geometria. Zbiór zadań cz. I, II, III, Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk 1993, 1994, 1998.
8. S. Serafin, G. Treliński, Geometria. Zbiór zadań z matematyki elementarnej, PWN, Warszawa 1976.

Ponadto zaleca się korzystanie z podręczników i zbiorów zadań z Geometrii dla szkół podstawowych i średnich (m.in. z serii ,,Biblioteka Matematyki Błękitnej").

Nastepny dokument:	Analiza matematyczna
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY PODSTAWOWE
Poprzedni dokument:	PRZEDMIOTY PODSTAWOWE