Przedmowa

W tej książce zostały przedstawione podstawowe pojęcia i twierdzenia z teorii mnogości. Zakres materiału został dobrany w taki sposób, aby książka była pomocna dla studentów matematyki, przy studiowaniu różnych działów tej nauki. Książka jest przeznaczona głównie dla studentów nauczycielskich studiów matematycznych, ale będzie również przydatna dla tych Czytelników, którzy pragną zapoznać się z teoriomnogościowymi podstawami matematyki.

W rozdziale 2 zawarta jest aksjomatyka teorii mnogości, nazwana w literaturze matematycznej aksjomatyka Zermelo - Fraenkela. W rozdziałach 5 i 6 przedstawione są podstawy teorii liczb porządkowych i kardynalnych - teorii opartej na aksjomatyce Zermelo - Fraenkela. Ponieważ w ramach teorii liczb porządkowych i kardynalnych przeprowadzona jest konstrukcja liczb naturalnych, więc w rozdziale l została zaprezentowana aksjomatyka Peano liczb naturalnych, aby ukazać wzajemne związki między tymi teoriami. System liczb naturalnych skonstruowany w teorii mnogości jest modelem aksjomatyki Peano. Rozdział 7 zawiera podstawowe wiadomości o kratach i algebrach Boole'a. W rozdziale O zostały zamieszczone podstawowe wiadomości z elementarnej logiki i intuicyjnej teorii zbiorów.

Należy podkreślić, że prezentowana książka nie jest systematycznym wykładem aksjomatycznej teorii mnogości. Układ treści został tak dobrany, aby z jednej strony ukazać istotę podstaw aksjomatycznej teorii mnogości - natomiast z drugiej strony, aby stanowić spójny wykład elementów teorii mnogości, z którym powinien zapoznać się student matematycznych studiów nauczycielskich. Podjęta próba realizacji tych dwóch głównych celów spowodowała, że w pierwszych rozdziałach tej książki używamy pewnych pojęć (np. pojęcia funkcji, relacji porządkującej zbiory liczbowe itp.) znanych Czytelnikom z matematyki szkolnej - chociaż ich formalne wprowadzenie nastąpi dopiero w dalszych rozdziałach. Uważam, że takie zestawienie pojęć występujących w matematyce elementarnej oraz ich odpowiedników w matematyce wyższej, może być bardzo przydatne przyszłemu nauczycielowi matematyki. Autor ma nadzieję, że książka będzie służyć poszerzeniu i pogłębieniu wiedzy potrzebnej nauczycielowi matematyki, ale również będzie stanowić źródło inspiracji dydaktycznych do pracy z uczniami w szkole.

Każdy rozdział tej książki jest zakończony pewną serią zadań, których rozwiązanie umożliwi Czytelnikom pogłębienie i rozszerzenie poznanego ma- teriału. Na końcu książki znajdują się rozwiązania i wskazówki do większości z podanych zadań.

Definicje, twierdzenia, lematy, wnioski i przykłady mają wspólną dwuliczbową numerację: pierwsza liczba jest numerem paragrafu, a druga - kolejnym numerem odpowiedniej jednostki tekstu. Odsyłacze w ramach jednego rozdziału podają odpowiedni dwuliczbowy numer tekstu. W przypadku, gdy odnośny tekst znajduje się w innym rozdziale, podaje się dodatkowo numer tego rozdziału. Gwiazdka * przy numerze paragrafu oznacza, że zagadnienia prezentowane w tym paragrafie w całości lub częściowo wykraczają poza zwyczajowo przyjęty zakres wykładu z teorii mnogości. Paragrafy z gwiazdką mogą być wykorzystane do pracy seminaryjnej.

Antoni Chronowski