Analiza zespolona

TREŚCI NAUCZANIA

1. Szeregi potęgowe. Lemat Abela. Twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda. Funkcje holomorficzne. Pierścień funkcji holomorficznych. Funkcje całkowite, holomorficzność sumy szeregu potęgowego.
2. Pochodna zespolona. Równania Cauchy'ego Riemanna. Funkcje analityczne. Twierdzenie Weierstrassa o analityczności szeregu potęgowego.
3. Całka krzywoliniowa zorientowana i niezorientowana. Twierdzenie całkowe Cauchy'ego, wzór całkowy Cauchy'ego (dla koła). Holomorficzność funkcji analitycznej, istnienie pochodnych wszystkich rzędów. Nierówność Cauchy'ego. Twierdzenie Liouville'a. Podstawowe twierdzenie algebry.
4. Zera funkcji holomorficznej. Zasada identyczności dla funkcji holomorficznych, zasada maksimum. Twierdzenie Morery.
5. Szereg Laurenta. Punkt regularny, izolowany punkt osobliwy. Punkt pozornie osobliwy, biegun, punkt istotnie osobliwy, przykłady. Charakteryzacja punktów pozornie osobliwych. Twierdzenie Riemanna o osobliwości. Charakteryzacja biegunów. Twierdzenie Casoratiego-Weierstrassa-Sochockiego.
6. Indeks punktu. Residuum, twierdzenie o residuach, zastosowanie twierdzenia o residuach dla niewłaściwej całki rzeczywistej.

LITERATURA

1. J. Chądzyński, Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 2000.
2. E. Hille, Analytic function theory, t.I, Blaisdell Publishing Company, New York, Toronto, Londyn 1963.
3. J. Krzyż, Zbiór zadań z funkcji analitycznych, PWN, Warszawa 1965.
4. F. Leja, Funkcje zespolone, PWN, Warszawa 1976.
5. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 1986.
6. S. Saks, A. Zygmund, Funkcje analityczne, Monografie Matematyczne, Vol.28, Warszawa, Lwów, Wilno 1938. (w postaci plików pdf:http:matwbn.icm.edu.pl/ksspis.php?wyd=10).
7. B. W. Szabat, Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 1974.
8. W. Więsław, Liczby i geometria, WSiP, Warszawa 1996.
9. J. Bak, D. J. Newmann, Complex analysis, Springer, 1996.