Celem nauczania jest pogłębienie znajomości logiki matematycznej i
zaznajomienie z podstawami teorii zbiorów, aby przygotować
studenta do zrozumienia innych działów matematyki.
| SEMESTR 1 | TREŚCI NAUCZANIA |
- Elementy logiki matematycznej: rachunek zdań, rachunek
kwantyfikatorów.
- Algebra zbiorów: element zbioru, podzbiór,
zbiór potęgowy, sposoby określania zbiorów, rodzina zbiorów, suma
i iloczyn rodziny zbiorów, różnica zbiorów, dopełnienie, prawa
rachunku zbiorów.
- Aksjomatyka teorii zbiorów
(informacyjnie). Pewnik wyboru. Liczby naturalne: konstrukcja w
oparciu o aksjomaty teorii mnogości (informacyjnie), aksjomaty
Peano, indukcja.
- Para uporządkowana, iloczyn kartezjański
zbiorów, relacje dwuargumentowe, dziedzina i przeciwdziedzina.
Składanie relacji. Relacja odwrotna. Relacje zwrotne, symetryczne,
antysymetryczne, przechodnie i spójne.
- Relacja
równoważności. Klasy abstrakcji. Zbiór ilorazowy. Zasada
abstrakcji: relacja równoważności a podział zbioru. Zastosowania
(m.in. w definicji wektora swobodnego i w konstrukcjach liczb
całkowitych i wymiernych).
- Funkcja. Injekcja, surjekcja,
bijekcja. Liczba funkcji odwzorowujących zbiór skończony w zbiór
skończony i liczba permutacji zbioru skończonego. Obrazy i
przeciwobrazy, składanie funkcji i funkcja odwrotna. Produkt
zbiorów.
- Równoliczność zbiorów, moc (liczba kardynalna)
zbioru. Zbiory skończone i nieskończone (kryterium Dedekinda).
Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne, zbiory mocy continuum.
Elementy arytmetyki liczb kardynalnych. Porównywanie liczb
kardynalnych, twierdzenie Cantora-Bernsteina. Twierdzenie Cantora
o mocy zbioru potęgowego. Hipoteza continuum.
- Zbiory
częściowo i liniowo uporządkowane. Elementy wyróżnione w zbiorach
uporządkowanych. Porządek gęsty i ciągły. Zbiory dobrze
uporządkowane. Typy porządkowe. Liczby porządkowe. Lemat
Kuratowskiego-Zorna.
| UWAGI O REALIZACJI PROGRAMU |
Treści programowe są formalnie podzielone na elementy logiki
matematycznej i elementy teorii mnogości. Wykładowca ustala
kolejność realizacji programu. Wykłady i ćwiczenia powinny
nawiązywać do materiału szkolnego z matematyki.
Realizacja elementów logiki matematycznej powinna opierać się na
praktycznej analizie rozumowań matematycznych znanych studentom z
matematyki szkolnej.
Analiza logicznej struktury języka matematycznego powinna być
jednym z najważniejszych zagadnień realizowanych w trakcie nauki
elementów logiki matematycznej.
- D. Brydak, E. Turdza, Zbiór zadań z teorii mnogości i
teorii przestrzeni topologicznych i metrycznych, WN WSP, Kraków
1974.
- A. Chronowski, Elementy teorii mnogości, WN
WSP, Kraków 1999.
- A. Chronowski, Zadania z elementów
teorii mnogości i logiki matematycznej, Wydawnictwo ,,Dla
szkoły'', Wilkowice 1999.
- J. Górowski, A.
Łomnicki, Arytmetyka i algebra, cz. I, Bielsko-Biała 1993.
- K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria mnogości, PWN,
Warszawa 1978.
- K. Kuratowski, Wstęp do teorii
mnogości i topologii. PWN,Warszawa 1972
- A.
Łomnicki, G. Treliński, B. Wełna, Zbiór zadań ze wstępu do
matematyki, WN WSP, Kraków 1986.
- M.
Malec, Elementarny wstęp do teorii relacji, cz. 1, Wydawnictwa
AGH, Kraków 1995.
- W. Marek, J.
Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, PWN,
Warszawa 1975.
- Z. Moszner, Elementy teorii mnogości
i topologii, WN WSP, Kraków 1973.
- H. Rasiowa, Wstęp
do matematyki współczesnej, PWN, Warszawa 1999.
- S.
Turnau, Logiczny wstęp do matematyki, WN WSP, Kraków 1984.
- A. Wojciechowska, Elementy logiki i teorii
mnogości, Warszawa 1979.
Instytut Matematyki Akademii
Pedagogicznej w Krakowie,
28.09.2006
