poprzedni dokument następny dokument nadrzędny dokument spis treści wyjście strona główna IM AP
Nastepny dokument: Równania różniczkowe
Nadrzędny dokument: PRZEDMIOTY PODSTAWOWE I PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument: Geometria

Analiza matematyczna

CELE NAUCZANIA

Celem kursu jest przyswojenie przez studentów elementarnych działów analizy matematycznej tzn. rachunku różniczkowego i całkowego funkcji zmiennych rzeczywistych (jednej i wielu zmiennych). Wybór materiału pozwala uwypuklić związki z innymi działami matematyki jak: geometria, topologia, algebra, rachunek prawdopodobieństwa.

ROK ITREŚCI NAUCZANIA

  1. Ciągi i szeregi funkcyjne - uzupełnienie. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych. Kryteria zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych. Ciągłość i różniczkowanie granicy ciągu funkcyjnego i sumy szeregu funkcyjnego.
  2. Szeregi potęgowe - uzupełnienie. Pojęcie funkcji analitycznej zmiennej rzeczywistej. Rozwijanie w szereg Taylora podstawowych funkcji elementarnych.
  3. Szeregi Fouriera. Zbieżność punktowa i jednostajna szeregów Fouriera. Kryteria zbieżności. Przykłady rozwinięć. Twierdzenie Weierstrassa dla odcinka.
  4. Odwzorowania z $R^{k}$ w $R^{n}$ (granica, ciągłość).
  5. Rachunek różniczkowy (odwzorowania z $R^{k}$ w $R^{n}$). Pochodne cząstkowe, kierunkowe i różniczkowalność funkcji. Pochodna jej sens geometryczny. Macierz Jacobiego, jakobian i gradient. Działania na odwzorowaniach a pochodne. Pochodne wyższych rzędów. Twierdzenie o wartości średniej. Wzór Taylora. Zastosowania do badania ekstremów lokalnych. Twierdzenia o odwzorowaniu uwikłanym, o lokalnej odwracalności odwzorowania klasy $C^1$. Ekstrema warunkowe lokalne.
  6. Elementy geometrii różniczkowej. Równania naturalne krzywych. Prosta styczna i normalna do krzywej. Krzywizna.
  7. Całki wielokrotne - powtórzenie i uzupełnienie. Całka względem miary. Warunek konieczny i dostateczny całkowalności w sensie Riemanna. Twierdzenie Fubiniego.
  8. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Całki krzywoliniowe pierwszego i drugiego rodzaju. Warunki niezależności całki od drogi całkowania. Wzór Greena. Orientacja powierzchni. Całki powierzchniowe pierwszego i drugiego rodzaju. Wzór Gaussa-Ostrogradzkiego. Elementy pola wektorowego. Formy różniczkowe i twierdzenie Stokesa.

UWAGI O REALIZACJI PROGRAMU

Wykład nie powinien ograniczać się do podawania treści matematycznych wyłącznie w ich abstrakcyjnej postaci, lecz jak najszerzej uwypuklać źródła tych treści, w szczególności winien szeroko nawiązywać do treści przyrodniczych, praktycznych oraz do matematyki szkolnej. Kolejność przerabianego materiału, jak i sposób jego ujęcia, pozostawia się wykładającemu. Musi on pamiętać o tym, że we właściwym czasie powinien opracować wiadomości nieodzowne lub użyteczne dla innych przedmiotów studiów (geometria, topologia, rachunek prawdopodobieństwa).

LITERATURA PODSTAWOWA
  1. J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WN-T, Warszawa 1994.
  2. G. N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydawnictwo Pracowni Komputerowej Jacka Skalmierskiego, Gliwice 1999.
  3. A. Birkholc, Analiza matematyczna, funkcje wielu zmiennych, PWN, Warszawa 1986.
  4. B. P. Demidowicz, Sbornik zadacz i uprażnienij po matemematiczeskomu analizu, Izdat. Nauka, Moskwa 1977.
  5. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I,II,III, PWN, Warszawa 1985.
  6. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1978.
  7. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I,II, PWN, Warszawa 1994.
  8. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1976.
  9. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1982.
  10. R. Sikorski, Rachunek różniczkowy i całkowy (funkcji wielu zmiennych), PWN, Warszawa 1967.

LITERATURA UZUPEŁNIAJĄCA
  1. S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funcji rzeczywistych, PWN, Warszawa 1976.
  2. K. Maurin, Analiza, cz. I,II, PWN, Warszawa 1991.
  3. L. Schwartz, Kurs analizy matematycznej, t.I,II, PWN, Warszawa 1979.


poprzedni dokument następny dokument nadrzędny dokument spis treści wyjście strona główna IM AP
Nastepny dokument: Równania różniczkowe
Nadrzędny dokument: PRZEDMIOTY PODSTAWOWE I PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument: Geometria

Instytut Matematyki Akademii Pedagogicznej w Krakowie, 1.10.2005