poprzedni dokument następny dokument nadrzędny dokument spis treści wyjście strona główna IM AP
Nastepny dokument: Algebra
Nadrzędny dokument: PRZEDMIOTY PODSTAWOWE I PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument: Analiza zespolona

Algebra liniowa i geometria

CELE NAUCZANIA

Celem nauczania jest zaznajomienie studenta z podstawami algebry liniowej i nauczenie go korzystania z nich oraz z algebraizacją geometrii euklidesowej i metodami analitycznymi w rozwiązywaniu problemów geometrycznych.

SEMESTR 1TREŚCI NAUCZANIA

Grupa, podgrupa, grupy permutacji. Homomorfizmy, izomorfizmy struktur jednodziałaniowych, ich niezmienniki.
Pierścień, ciało, podpierścień, podciało, ciało liczb zespolonych, Homomorfizmy struktur dwudziałaniowych.
Przestrzenie liniowe, podprzestrzenie, przestrzeń ilorazowa. Liniowa niezależność układu wektorów, baza przestrzeni (podprzestrzeni), wymiar przestrzeni (podprzestrzeni), współrzędne wektora. Suma prosta.
Przekształcenia liniowe, jądro i obraz przekształcenia liniowego. Macierze, macierz przekształcenia liniowego. Algebra liniowa, algebra macierzy, algebra endomorfizmów przestrzeni liniowej.

SEMESTR 2TREŚCI NAUCZANIA

Wyznaczniki. Rząd macierzy, macierz odwrotna do macierzy nieosobliwej. Układy równań liniowych.
Macierz przejścia od bazy do bazy, związki miedzy współrzędnymi wektora w różnych bazach, związki miedzy macierzami przekształcenia liniowego w różnych bazach.
Wartości i wektory własne endomorfizmu przestrzeni liniowej, diagonalizacja macierzy.
Przekształcenia dwuliniowe symetryczne i ich reprezentacja macierzowa.
Formy kwadratowe i ich macierze, postać kanoniczna, formy określone dodatnio i ujemnie.
Przestrzeń liniowa euklidesowa, baza ortonormalna, ortogonalizacja Schmidta, postać iloczynu skalarnego w bazie ortonormalnej.
Przekształcenia ortogonalne, podobieństwa liniowych przestrzeni euklidesowych, macierzowe reprezentacje przekształceń ortogonalnych. Endomorfizmy sprzężone i samosprzężone, ich reprezentacja macierzowa. Orientacja przestrzeni. Iloczyn wektorowy w przestrzeni trójwymiarowej.

SEMESTR 3TREŚCI NAUCZANIA

Przestrzenie afiniczne, ich podstawowe własności, podprzestrzenie, podprzestrzeń generowana przez zbiór. Afiniczna niezależność punktów, układy bazowe przestrzeni afinicznej, współrzędne punktów, kombinacja barycentryczna punktów, zbiory wypukłe, sympleksy, równoległościany. Objętości sympleksów i równoległościanów. Przekształcenia afiniczne.
Przestrzeń ortogonalna, przekształcenia ortogonalne i sprzężone, przestrzeń euklidesowa, podstawowe pojęcia geometrii euklidesowej: podprzestrzenie, bazy prostopadłe, prostokątne układy współrzędnych w $E^{3}$.
Równania płaszczyzny: wektorowe, parametryczne, zwyczajne. Wzajemne położenie płaszczyzn. Kąt miedzy płaszczyznami, pęk płaszczyzn.
Równania prostej: wektorowe, parametryczne, krawędziowe.
Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn, kąt między prostymi, kąt między prostą i płaszczyzną, odległość prostych skośnych.
Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego.
Elipsa, hiperbola, parabola - podstawowe własności afiniczne i metryczne krzywych stożkowych; środek, średnice, bieguny i biegunowe, asymptoty, ogniska i kierownice. Czwórka harmoniczna punktów.
Stożki, walce, hiperboloidy, paraboloidy, elipsoidy; podstawowe własności afiniczne i metryczne tych powierzchni. Płaskie przekroje powierzchni stożkowych. Powierzchnie prostokreślne, powierzchnie obrotowe i powierzchnie powstałe przez przesuwanie krzywej po krzywej.
Klasyfikacja afiniczna i metryczna krzywych i powierzchni stopnia drugiego.
Grupa izometrii, grupa podobieństw, reprezentacje analityczne izometrii i podobieństw. Pojęcie i podstawowe własności przestrzeni Minkowskiego (czasoprzestrzeni).

LITERATURA
  1. A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.
  2. J. Gancarzewicz, Algebra liniowa z elementami geometrii [skrypt UJ], Kraków 1999.
  3. B. Gleichgewicht, Algebra, Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, PWN, Warszawa 1983.
  4. F. Leja, Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1969.
  5. A. Łomnicki, M. Magdoń, M. Żurek-Etgens, Podstawy algebry liniowej w zadaniach, WN WSP, Kraków 2000.
  6. M. Moszyńska, Geometria z algebrą liniową, PWN, Warszawa 1989.
  7. S. Przybyło, A. Szlachtowski, Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zadaniach, WN-T, Warszawa 1993.


poprzedni dokument następny dokument nadrzędny dokument spis treści wyjście strona główna IM AP
Nastepny dokument: Algebra
Nadrzędny dokument: PRZEDMIOTY PODSTAWOWE I PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument: Analiza zespolona

Instytut Matematyki Akademii Pedagogicznej w Krakowie, 1.10.2005