poprzedni dokument następny dokument nadrzędny dokument spis treści wyjście strona główna IM AP
Nastepny dokument: Wstęp do matematyki
Nadrzędny dokument: PRZEDMIOTY PODSTAWOWE I PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument: Geometria elementarna

Geometria

CELE NAUCZANIA

Wykład powinien dać pełne podstawy teoretyczne głównych typów geometrii elementarnej: euklidesowej, Łobaczewskiego i rzutowej jako teorii aksjomatycznych oraz podstawy geometrii różniczkowej.

SEMESTR 7TREŚCI NAUCZANIA

  1. Ogólne uwagi o teorii aksjomatycznej: niesprzeczność, zupełność, kategoryczność, niezależność aksjomatów. Informacja o aksjomatyzacji geometrii euklidesowej, rys historyczny.
    Problemy z aksjomatyzacją, luki w Elementach, aksjomat Pascha, dzieje aksjomatu Euklidesa.
  2. Aksjomatyka Hilberta geometrii euklidesowej, tezy równoważne z aksjomatem Euklidesa. Informacje o geometriach nieeuklidesowych. Modele geometrii Bolyaia-Łobaczewskiego: Beltramiego-Kleina, Poincare'go (w kole otwartym, otwartej półpłaszczyźnie i na półsferze); wzajemne związki. Dowodzenie twierdzeń w oparciu o modele, w szczególności tez równoważnych z zaprzeczeniem aksjomatu Euklidesa.
  3. Geometria rzutowa; aksjomatyka płaszczyzny i przestrzeni.
    Modele geometrii rzutowej: afiniczny, centralny, na półsferze i analityczny.
    Podstawowe twierdzenia geometrii rzutowej: twierdzenie Desarguesa, twierdzenie Pappusa; zastosowanie tych twierdzeń do konstrukcji geometrycznych.
    Zasada dualności w geometrii rzutowej.
    Czworokąt zupełny, czwórka harmoniczna.
    Współrzędne jednorodne, przekształcenia rzutowe.
    Krzywe stożkowe w ujęciu rzutowym, twierdzenie Pascala.
    Informacje o modelowaniu wybranych geometrii na gruncie geometrii rzutowej.
  4. Informacja o programie Kleina. Typowe niezmienniki w poznanych geometriach elementarnych.

SEMESTR 8TREŚCI NAUCZANIA
  1. Krzywe na płaszczyźnie i w przestrzeni. Parametryzacja dowolna i naturalna krzywej. Sposoby określania krzywej: jawny, parametryczny, uwikłany. Krzywizna krzywej i jej interpretacja geometryczna, okrąg ściśle styczny, promień krzywizny. Prosta styczna i normalna do krzywej. Trójścian Freneta, wzory Freneta, skręcenie krzywej i jego interpretacja geometryczna, krzywa o zerowym skręceniu. Równania naturalne krzywej.
  2. Powierzchnie jako rozmaitości dwuwymiarowe. Sfera, pseudosfera, torus, powierzchnie obrotowe i prostokreślne jako przykłady powierzchni.
    Przedstawienie analityczne powierzchni. Pola wektorowe i krzywe na powierzchni. Przestrzeń styczna i wektor normalny, orientacja. Pierwsza forma fundamentalna. Odwzorowanie Gaussa. Druga forma fundamentalna. Równanie Gaussa, symbole Christoffela.
    Odwzorowanie izometryczne powierzchni. Powierzchnie rozwijalne.
    Krzywizna normalna i geodezyjna, przykłady. Linie geodezyjne, asymptotyczne i krzywiznowe. Krzywizna Gaussa, krzywizny główne. Wzór Gaussa-Bonneta.
    Wykorzystanie powierzchni jako modeli geometrii nieeuklidesowych.

UWAGI O REALIZACJI PROGRAMU

  1. Program nie powinien być interpretowany w postaci wykładu samej abstrakcyjnej teorii. Należy operować także przykładami i przedstawieniem na wpół intuicyjnym. Wynikiem nauczania powinno być zrozumienie istoty pojęć, problemów i metod, nie zaś samo opanowanie teorii w sformalizowanej postaci.
  2. Prowadzący zajęcia powinni robić sporo dygresji historycznych i dobierać przykłady także z materiału szkolnego tak, by po odpowiednim zaadoptowaniu można je było przedstawić uczniom szkoły średniej.
  3. W programie geometrii obok treści występujących w standardach umieszczono elementy geometrii różniczkowej jako niezbędnej części wykształcenia absolwenta współczesnych studiów matematycznych.
  4. Przed wykładowcą stoi trudne zadanie zachęcenia studentów do geometrii, pokazania, że geometria może być interesująca, by mogli oni przekazać w przyszłości uczniom taki stosunek do geometrii jaki ukształtowali sobie na studiach.

LITERATURA
  1. K. Borsuk, W. Szmielew, Podstawy geometrii, PWN, Warszawa 1972.
  2. B. Gdowski, Elementy geometrii różniczkowej z zadaniami, PWN, Warszawa 1982.
  3. A. Goetz, Geometria różniczkowa, PWN, Warszawa 1965.
  4. S. Fudali, Geometria, Uniwersytet Szczeciński, Szczecin 1989.


poprzedni dokument następny dokument nadrzędny dokument spis treści wyjście strona główna IM AP
Nastepny dokument: Wstęp do matematyki
Nadrzędny dokument: PRZEDMIOTY PODSTAWOWE I PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument: Geometria elementarna

Instytut Matematyki Akademii Pedagogicznej w Krakowie, 1.10.2005