poprzedni dokument następny dokument nadrzędny dokument spis treści wyjście strona główna IM AP
Nastepny dokument: Analiza matematyczna
Nadrzędny dokument: PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument: Geometria

Wstęp do matematyki

CELE NAUCZANIA

Celem naucznia jest pogłębienie znajomości logiki matematycznej i zaznajomienie z podstawami teorii zbiorów, aby przygotować studenta do zrozumienia innych działów matematyki.

SEMESTR 1TREŚCI NAUCZANIA

  1. Elementy logiki matematycznej: rachunek zdań, rachunek funkcyjny.
  2. Intuicyjna algebra zbiorów: element zbioru, podzbiór, rodzina zbiorów, sposoby określania zbiorów, suma i iloczyn rodziny zbiorów, różnica zbiorów, dopełnienie, prawa rachunku zbiorów.
  3. Aksjomatyka teorii zbiorów (informacyjnie). Konstrukcje liczb naturalnych w oparciu o aksjomaty teorii mnogości (informacyjnie). Aksjomatyka Peano liczb naturalnych, indukcja.
  4. Iloczyn kartezjański zbiorów, relacje dwuargumentowe, dziedzina, przeciwdziedzina i pole relacji. Składanie relacji. Relacja odwrotna. Relacje zwrotne, symetryczne, przeciwsymetryczne, antysymetryczne, przechodnie i spójne.
  5. Relacja równoważności. Klasy abstrakcji. Relacja równoważności a podział zbioru. Zastosowanie (m.in. w definicji wektora swobodnego i w konstrukcjach liczb całkowitych i wymiernych).

SEMESTR 2TREŚCI NAUCZANIA

  1. Pojęcie funkcji jako relacji. Injekcja, surjekcja, bijekcja. Liczba funkcji odwzorowujących zbiór skończony w zbiór skończony i liczba permutacji zbioru skończonego. Obrazy i przeciwobrazy, składanie funkcji i funkcja odwrotna.
  2. Równoliczność zbiorów, moc (liczba kardynalna) zbioru. Zbiory skończone i nieskończone. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne, zbiory mocy continuum. Elementy arytmetyki liczb kardynalnych. Porównywanie liczb kardynalnych, twierdzenie Cantora-Bernsteina. Twierdzenie Cantora o mocy zbioru potęgowego. Hipoteza continuum.
  3. Zbiory częściowo i liniowo uporządkowane. Elementy wyróżnione w zbiorach uporządkowanych. Kresy zbiorów. Porządek gęsty i ciągły w zbiorach. Pojęcie zbioru dobrze uporządkowanego. Typy porządkowe. Pojęcie liczby porządkowej. Lemat Kuratowskiego-Zorna. Twierdzenie Zermelo o dobrym uporządkowaniu zbiorów.

UWAGI O REALIZACJI PROGRAMU

Treści programowe są formalnie podzielone na elementy logiki matematycznej i elementy teorii mnogości. Wykładowca ustala kolejność realizacji programu. Wykłady i ćwiczenia powinny nawiązywać do materiału szkolnego z matematyki.

Realizacja elementów logiki matematycznej powinna opierać się na praktycznej analizie rozumowań matematycznych znanych studentom z matematyki szkolnej. Analiza logicznej struktury języka matematycznego powinna być jednym z najważniejszych zagadnień realizowanych w trakcie nauki elementów logiki matematycznej.

LITERATURA
  1. D. Brydak, E. Turdza, Zbiór zadań z teorii mnogości i teorii przestrzeni topologicznych i metrycznych, WN WSP, Kraków 1974.
  2. A. Chronowski, Elementy teorii mnogości, WN WSP, Kraków 1999.
  3. A. Chronowski, Zadania z elementów teorii mnogości i logiki matematycznej, Wydawnictwo ,,Dla szkoły'', Wilkowice 1999.
  4. J. Górowski, A. Łomnicki, Arytmetyka i algebra, cz. I, Bielsko-Biała 1993.
  5. K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria mnogości, PWN, Warszawa 1978.
  6. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii. PWN,Warszawa 1972
  7. A. Łomnicki, G. Treliński, B. Wełna, Zbiór zadań ze wstępu do matematyki, WN WSP, Kraków 1986.
  8. M. Malec, Elementarny wstęp do teorii relacji, cz. 1, Wydawnictwa AGH, Kraków 1995.
  9. W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, PWN, Warszawa 1975.
  10. Z. Moszner, Elementy teorii mnogości i topologii, WN WSP, Kraków 1973.
  11. H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN, Warszawa 1999.
  12. S. Turnau, Logiczny wstęp do matematyki, WN WSP, Kraków 1984.
  13. A. Wojciechowska, Elementy logiki i teorii mnogości, Warszawa 1979.


poprzedni dokument następny dokument nadrzędny dokument spis treści wyjście strona główna IM AP
Nastepny dokument: Analiza matematyczna
Nadrzędny dokument: PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument: Geometria

Instytut Matematyki Akademii Pedagogicznej w Krakowie, 15.06.2003