Nastepny dokument:	Równania różniczkowe
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument:	Wstęp do matematyki

Analiza matematyczna

CELE NAUCZANIA

Celem kursu analizy matematycznej jest gruntowne przyswojenie przez studentów elementarnych działów analizy matematycznej tzn. rachunku różniczkowego i całkowego funkcji zmiennych rzeczywistych (jednej i wielu zmiennych). Wybór materiału pozwala uwypuklić związki z innymi działami matematyki jak: geometria, topologia, algebra, rachunek prawdopodobieństwa.

SEMESTR 1

TREŚCI NAUCZANIA

1. Liczby rzeczywiste. Liczby rzeczywiste i ich własności. Aksjomatyka liczb rzeczywistych. Kresy zbiorów.
2. Odwzorowania. Składanie odwzorowań, odwracanie odwzorowań, obrazy i przeciwobrazy zbiorów, ciągi i podciągi.
3. Teoria granic. Przestrzenie metryczne, otoczenia punktów, zbiory otwarte i domknięte, punkty skupienia, granice ciągu, granice funkcji. Równoważność definicji Heinego i Cauchy'ego. Zbieżność ciągów liczbowych, granice górne i dolne, granice nieskończone. Granice ciągów i funkcji w ${\mbox{$\mathbb{R}$}}^n$, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa; zwartość, zupełność, spójność zbiorów w przestrzeni ${\mbox{$\mathbb{R}$}}^n$.
4. Ciągłość. Ogólne własności odwzorowań ciągłych. Odwzorowania ciągłe na zbiorach zwartych, ciągłość jednostajna. Własności ciągłych funkcji typu $f: \mbox{$\mathbb{R}$}\to\mbox{$\mathbb{R}$}$, własność Darboux i jej zastosowania, nieciągłość, ciągłość a monotoniczność. Homeomorfizmy. Ciągłość funkcji elementarnych, różne definicje i własności funkcji wykładniczej i logarytmicznej.

SEMESTR 2

TREŚCI NAUCZANIA

1. Szeregi liczbowe. Szeregi o wyrazach dodatnich, najważniejsze kryteria zbieżności. Szeregi o wyrazach rzeczywistych, Szeregi bezwzględnie i warunkowo zbieżne. Mnożenie szeregów.
2. Rachunek różniczkowy. Pochodne, interpretacja fizyczna i geometryczna. Rachunek pochodnych. Twierdzenia o wartości średniej, wzór Taylora. Reguła de l'Hospitala. Ekstrema lokalne, wypukłość, asymptoty, badanie przebiegu funkcji.
3. Całki. Całki nieoznaczone. Technika obliczania całek. Całka Riemanna. Własności całki oznaczonej, liniowość, addytywność, warunki konieczne i wystarczające na całkowalność, całka a funkcja pierwotna. Twierdzenia o wartości średniej. Geometryczne i fizyczne zastosowania całek oznaczonych (długość krzywej, pole i objętość). Całki niewłaściwe, kryteria istnienia. Kryterium całkowe zbieżności szeregów.

SEMESTR 3

TREŚCI NAUCZANIA

1. Ciągi i szeregi funkcyjne. Zbieżność punktowa, jednostajna i niemal jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych. Kryteria zbieżności jednostajnej. Ciągłość, różniczkowanie i całkowanie sumy szeregu (granicy ciągu) funkcyjnego. Przestrzeń $C(X,Y)$ i twierdzenie o jej zupełności. Twierdzenie Stone'a-Weierstrassa.
2. Szeregi potęgowe. Promień zbieżności. Suma szeregu potęgowego, jego pochodna i całka. Szereg Taylora i Maclaurina. Rozwijanie funkcji elementarnych w szeregi potęgowe. Przykłady funkcji klasy $C^{\infty}$ nierozwijalnej w szereg potęgowy.
3. Szeregi Fouriera. Zbieżność punktowa i jednostajna szeregów Fouriera. Kryteria zbieżności. Przykłady rozwinięć.
4. Przestrzenie unormowane. Przestrzenie Banacha. Funkcje liniowe ciągłe, norma odwzorowania liniowego. Funkcje wieloliniowe ciągłe. Elementy rachunku różniczkowego w przestrzeniach Banacha.

SEMESTR 4

TREŚCI NAUCZANIA

Rachunek różniczkowy w $\mbox{$\mathbb{R}$}^n.$ Pochodna i jej sens geometryczny. Pochodne kierunkowe, cząstkowe i różniczkowalność funkcji. Macierz Jacobiego, jakobian i gradient. Działania na odwzorowaniach a pochodne. Odwzorowania regularne i dyfeomorfizmy. Twierdzenia o funkcji uwikłanej. Pochodne wyższych rzędów. Twierdzenie o wartości średniej. Wzór Taylora. Ekstrema funkcji. Ekstrema warunkowe. Zastosowania geometryczne, hiperpowierzchnie, hiperpłaszczyzna styczna. Zastosowania do fizyki.

SEMESTR 5

TREŚCI NAUCZANIA

1. Całki wielokrotne. Całka Riemanna w $\mbox{$\mathbb{R}$}^n$. Całki iterowane. Całki w obszarze normalnym. Twierdzenie o zmianie zmiennych. Zastosowania geometryczne, obliczanie objętości i pola płata powierzchniowego. Zastosowania do fizyki.
2. Teoria miary. Ciała, $\sigma$-ciała, miara, zbiory borelowskie. Miara zewnętrzna. Twierdzenie Caratheodory'ego. Produktowanie miar. Miara Lebesgue'a. Charakteryzacja zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a. Informacje o mierze Jordana. Funkcje mierzalne. Miary generowane przez dystrybuanty. Zbieżność według miary.
3. Całka Lebesgue'a. Całka Lebesgue'a względem dowolnej miary i podstawowe jej własności. Lemat Fatou i twierdzenia o przejściach granicznych pod znakiem całki. Związek z całką Riemanna. Twierdzenie Fubiniego. Twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie. Całka z parametrem. Całka jako funkcjonał. Całka jako przeliczalnie addytywna funkcja zbioru.

SEMESTR 6

TREŚCI NAUCZANIA

Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Całki krzywoliniowe pierwszego i drugiego rodzaju. Warunki niezależności całki od drogi całkowania. Wzór Greena. Orientacja powierzchni. Całki powierzchniowe pierwszego i drugiego rodzaju. Wzór Gaussa-Ostrogradzkiego. Twierdzenie Stokesa. Elementy teorii pola wektorowego. Interpretacje fizyczne. W miarę możliwości czasowych uogólnienia: miara i całka na hiperpowierzchniach, formy różniczkowe, sympleksy i łańcuchy, całka formy różniczkowej, ogólne twierdzenie Stokesa.

UWAGI O REALIZACJI PROGRAMU

Wykład nie powinien ograniczać się do podawania treści matematycznych wyłącznie w ich abstrakcyjnej postaci, lecz jak najszerzej uwypuklać źródła tych treści, w szczególności winien szeroko nawiązywać do treści przyrodniczych, praktycznych oraz do matematyki szkolnej. Kolejność przerabianego materiału, jak i sposób jego ujęcia, pozostawia się wykładającemu. Musi on pamiętać o tym, że we właściwym czasie powinien opracować wiadomości nieodzowne lub użyteczne dla innych przedmiotów studiów (geometria, topologia, rachunek prawdopodobieństwa).

LITERATURA PODSTAWOWA

1. J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WN-T, Warszawa 1994.
2. G. N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydawnictwo Pracowni Komputerowej Jacka Skalmierskiego, Gliwice 1999.
3. A. Birkholc, Analiza matematyczna, funkcje wielu zmiennych, PWN, Warszawa 1986.
4. B. P. Demidowicz, Sbornik zadacz i uprażnienij po matemematiczeskomu analizu, Izdat. Nauka, Moskwa 1977.
5. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I,II,III, PWN, Warszawa 1985.
6. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1978.
7. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I,II, PWN, Warszawa 1994.
8. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1976.
9. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1982.
10. R. Sikorski, Rachunek różniczkowy i całkowy (funkcji wielu zmiennych), PWN, Warszawa 1967.

LITERATURA UZUPEŁNIAJĄCA

1. S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funcji rzeczywistych, PWN, Warszawa 1976.
2. K. Maurin, Analiza, cz. I,II, PWN, Warszawa 1991.
3. L. Schwartz, Kurs analizy matematycznej, t.I,II, PWN, Warszawa 1979.

Nastepny dokument:	Równania różniczkowe
Nadrzędny dokument:	PRZEDMIOTY KIERUNKOWE
Poprzedni dokument:	Wstęp do matematyki