poprzedni dokument następny dokument nadrzędny dokument spis treści wyjście strona główna IM AP
Nastepny dokument: Wstęp do matematyki z elementami analizy matematycznej
Nadrzędny dokument: Przedmioty
Poprzedni dokument: Przedmioty

Geometria

CELE KSZTAŁCENIA

Celem nauczania tego przedmiotu jest powtórzenie i pogłębienie wiadomości słuchaczy z geometrii, które nabywali do końca nauki w szkole średniej, kształtowanie umiejętności rozwiązywania zadań (też problemowych) z geometrii płaskiej i przestrzennej (syntetycznej i analitycznej).

TREŚCI NAUCZANIA

1. Figury elementarne (płaskie i przestrzenne) i ich podstawowe własności
Figury wypukłe. Pojęcie kąta płaskiego, kąta dwuściennego, kąta liniowego kąta dwuściennego. Kąty przyległe, kąty wierzchołkowe. Kąt między prostymi, prostą a płaszczyzną. Proste prostopadłe, prosta prostopadła do płaszczyzny, płaszczyzny prostopadłe. Odległość geometryczna punktów, punktu od figury, prostych równoległych, płaszczyzn równoległych, prostych skośnych, symetralna odcinka i dwusieczna kąta. Kula, sfera (koło, okrąg). Figury ograniczone, nieograniczone, otwarte, domknięte, wnętrze, zewnętrze, brzeg figury. Wzajemne położenie prostej i sfery (okrągu), płaszczyzny i sfery, dwóch sfer (okręgów tej samej płaszczyzny). Kąty środkowe i wpisane w okrąg. Łamana, łamana zwyczajna, wielokąty. Kąty wewnętrzne i zewnętrzne wielokąta, przekątne wielokąta. Trójkąt; związki między bokami i kątami, symetralne boków trójkąta, środkowe, dwusieczne kątów wewnętrznych, wysokości trójkąta i twierdzenia z nimi związane - różne sposoby ich dowodzenia. Twierdzenie Cevy i wnioski z tego twierdzenia. Czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu. Twierdzenie Ptolemeusza. Wielokąty foremne. Wielościany; graniastosłupy i ostrosłupy, siatki wielościanów. Twierdzenie Eulera dla wielościanów wypukłych, wielościany foremne. Bryły obrotowe.
2. Metoda analityczna
Opisywanie figur równaniami, nierównościami, układami równań lub nierówności. Rozwiązywanie zadań, w szczególności dowodzenie twierdzeń metodami geometrii analitycznej.
3. Przekształcenia geometryczne
4. Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie
Zadanie konstrukcyjne i jego rozwiązanie (analiza, opis konstrukcji, dowód poprawności, dyskusja istnienia i ilości rozwiązań). Przegląd wybranych konstrukcji (np. okrąg opisany na trójkącie, okrąg wpisany w trójkąt, styczna do okręgu przechodząca przez dany punkt, $n$-kąt foremny dla $n$ = 3, 6, 4, 8, 5, 10, 15. Metody rozwiązywania zadań konstrukcyjnych; w szczególności wykorzystanie przekształceń geometrycznych do rozwiązywania zadań konstrukcyjnych. Problem konstruowalności wielokątów foremnych; twierdzenie Gaussa.
5. Mierzenie figur geometrycznych
Miara; twierdzenie o istnieniu miary odcinków przy zadanej jednostce, twierdzenie o zmianie jednostki, iloraz odcinków. Miara kątów (stopniowa i łukowa i związek między nimi). Pola figur płaskich: konstrukcja miary polowej w sensie Jordana; miara wewnętrzna i zewnętrzna figur ograniczonych; warunek wystarczający na istnienie miary polowej figur; twierdzenie o zmianie jednostki pola i polach figur podobnych; pole prostokąta, trójkąta, pole koła i innych figur geometrycznych.

LITERATURA
  1. R. Doman, Wykłady z geometrii elementarnej, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań, 2001.
  2. M. Łuczyński, Z. Opial, O konstrukcjach trójkątów, PZWS, Warszawa, 1964.
  3. K. Kłaczkow, M. Kurczak, E. Zwida, Matematyka. Podręcznik do liceów i techników, kl. I, II, III.
  4. Z. Krygowska, J. Moroszkowa, Geometria dla klasy I Liceum Ogólnokształcącego, PZWS, Warszawa 1967.
  5. Z. Krygowska, J. Moroszkowa, Geometria dla klasy II Liceum Ogólnokształcącego, PZWS, Warszawa 1969.
  6. Z. Krygowska, G. Treliński, Geometria dla klasy IV Liceum Ogólnokształcącego i Technikum.
  7. S. Serafin, G. Treliński, Zbiór zadań z matematyki elementarnej. Geometria, PWN, Warszawa 1976.


poprzedni dokument następny dokument nadrzędny dokument spis treści wyjście strona główna IM AP
Nastepny dokument: Wstęp do matematyki z elementami analizy matematycznej
Nadrzędny dokument: Przedmioty
Poprzedni dokument: Przedmioty

Instytut Matematyki Akademii Pedagogicznej w Krakowie, 28.09.2006