poprzedni dokument następny dokument nadrzędny dokument spis treści wyjście strona główna IM AP
Nastepny dokument: Statystyka opisowa i rachunek prawdopodobieństwa
Nadrzędny dokument: Przedmioty
Poprzedni dokument: Wstęp do matematyki z elementami analizy matematycznej

Arytmetyka i algebra

CELE KSZTAŁCENIA

Celem nauczania tego przedmiotu jest usystematyzowanie i pogłębienie wiadomości słuchaczy z arytmetyki i algebry, z całego procesu kształcenia w szkołach podstawowych, gimnazjach i szkołach średnich, ponadto zapoznanie ich z podstawowymi pojęciami algebry wyższej (struktury algebraiczne, ich homomorfizmy, macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych).

TREŚCI NAUCZANIA

  1. Liczby naturalne, liczby pierwsze (w szczególności dowód Euklidesa, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele; sita liczb pierwszych), rozkład liczby naturalnej na iloczyn liczb pierwszych. Zbiór liczb całkowitych, kongruencje w zbiorze liczb całkowitych, cechy podzielności (np. przez 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 17), algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność, liczby względnie pierwsze. Twierdzenie chińskie o resztach, równania diofantyczne. Systemy pozycyjne i niepozycyjne zapisu liczb; system dziesiątkowy, dwójkowy. Twierdzenia dotyczące cyfr jedności potęg liczby zapisanej w systemie dziesiątkowym.
  2. Grupa, pierścień, ciało, podgrupa, podpierścień, podciało. Struktury algebraiczne zbiorów liczbowych. Liczby wymierne i rzeczywiste. Dwumian Newtona, trójkąt Pascala.
  3. Homomorfizmy struktur algebraicznych, struktury izomorficzne.
  4. Liczby zespolone. Działania w zbiorze liczb zespolonych, postacie algebraiczna i trygonometryczna liczby zespolonej; interpretacja geometryczna, potęgowanie i pierwiastkowanie. Pierwiastki rzeczywiste i zespolone równania kwadratowego.
  5. Wielomiany. Działania w zbiorze wielomianów. Podstawowe twierdzenie algebry. Pierwiastki wymierne, rzeczywiste i zespolone wielomianu. Twierdzenie Bezouta, schemat Hornera. Wzory Viete'a. Rozkład wielomianu na czynniki. Równania i nierówności wielomianowe. Funkcje wymierne. Równania i nierówności wymierne.
  6. Macierze, działania na macierzach, wyznacznik. Układy równań liniowych, macierz układu równań liniowych. Badanie istnienia i ilości rozwiązań układu równań liniowych (twierdzenie Cramera i twierdzenie Kroneckera-Capellego). Metoda Gaussa. Nierówności liniowe, zastosowanie do rozwiązywania zadań z programowania liniowego.
  7. Elementy geometrii analitycznej. Równania prostych i płaszczyzn. Równoległość prostych i płaszczyzn, proste skośne. Wyznaczanie części wspólnej prostych i płaszczyzn. Krzywe stożkowe: elipsa, hiperbola, parabola.
  8. Przestrzeń wektorowa i podprzestrzeń. Liniowa niezależność i zależność wektorów. Podprzestrzeń generowana. Baza przestrzeni wektorowej, współrzędne wektora w bazie. Zmiana układu współrzędnych. Odwzorowanie liniowe. Reprezentacja macierzowa odwzorowania liniowego.

LITERATURA
  1. G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry liniowej, cz. I, II, WNT, Warszawa 2002.
  2. A. Chronowski, Podstawy arytmetyki szkolnej, cz. I i II, Wydawnictwo ,,Kleks", Bielsko- Biała 1999.
  3. J. Gancarzewicz, Arytmetyka, Wydawnictwo UJ, Kraków 2000.
  4. B. Gleichgewicht, Elementy algebry abstrakcyjnej, PZWS, Warszawa 1966.
  5. B. Gleichgewicht, Algebra, PWN, Warszawa 1983.
  6. A. I. Kostykin,, Wstęp do algebry, cz. I, PWN, Warszawa 2004.
  7. J. Leśniak, Równania z jedna niewiadomą, PZWS, Warszawa 1958.
  8. A. Musiatowicz, Metodyka rozwiązywania równań, PZWS, Warszawa 1959.
  9. Z. Radziszewski, Zbiór zadań z geometrii analitycznej, Wydawnictwo UMCS, Lublin 2002.
  10. W. Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna, PWN, Warszawa 1969.
  11. W. Sierpiński, Wstęp do teorii liczb, PZWS, Warszawa 1965.
  12. J. Słupecki, K. Hałkowska, K. Piróg-Rzepecka, Elementy arytmetyki teoretycznej, WSiP, Warszawa 1980.


poprzedni dokument następny dokument nadrzędny dokument spis treści wyjście strona główna IM AP
Nastepny dokument: Statystyka opisowa i rachunek prawdopodobieństwa
Nadrzędny dokument: Przedmioty
Poprzedni dokument: Wstęp do matematyki z elementami analizy matematycznej

Instytut Matematyki Akademii Pedagogicznej w Krakowie, 1.10.2005